REPRESENTACIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS Y POLÍGONOS

 

Representación de líneas

La representación de líneas en un sistema de coordenadas cartesianas se basa en una serie de conceptos y ecuaciones matemáticas.

 

Ecuación de la Línea en la Forma Punto-Pendiente:

La ecuación de una línea en la forma punto-pendiente se representa como:

y = mx + b

Donde:

·        “y”, “e”, ”x” son las coordenadas de un punto en la línea.

·        “m” es la pendiente de la línea.

·        “b” es el término de ordenada en el punto de intersección con el eje Y (cuando x es igual a cero).

La pendiente m indica la inclinación de la línea y se calcula como:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Ecuación de la Línea en la Forma General:

La ecuación de una línea en la forma general se expresa como:

Ax + By + C = 0

Donde:

·        A, B y C son constantes, y A y B no son ambos cero.

·        (x, y) son las coordenadas de cualquier punto en la línea.

Esta forma general se utiliza comúnmente en geometría y cálculos más generales, aunque se puede convertir fácilmente en la forma punto-pendiente o en otras formas según sea necesario.

 

Algoritmo de Bresenham:

Para representar líneas en una cuadrícula de píxeles, se utiliza el algoritmo de Bresenham. Este algoritmo calcula eficientemente los píxeles que deben colorearse para aproximar la línea en una cuadrícula discreta.

·        Comienza con el punto de inicio (x1, y1) y avanza hacia el punto final (x2, y2) de la línea.

·        Se toma una decisión en cada paso para determinar si se debe ir hacia la siguiente posición en el eje X o el eje Y, basándose en la pendiente de la línea y el error acumulado.

·        Los píxeles se dibujan secuencialmente en la cuadrícula para formar una representación discreta de la línea.

 

Vectores y Parametrización de Líneas:

En gráficos vectoriales, las líneas se representan mediante vectores. Un vector de línea se puede parametrizar de la siguiente manera:

P(t) = P0 + t * (P1 - P0)

Donde:

·        “P(t)” es el punto en la línea para el parámetro t.

·        “P0” y “P1” son los puntos de inicio y final de la línea.

·        “t” es un valor que varía de 0 a 1, lo que permite generar puntos a lo largo de la línea.

Esta descripción técnica de la representación de líneas abarca varios enfoques matemáticos utilizados en la geometría y la informática gráfica para describir y trazar líneas de manera precisa y eficiente en diversos contextos.

 

Representación de polígonos

Un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos de línea llamados lados, donde cada lado se encuentra exactamente con dos otros en sus extremos, excepto los dos extremos que se conectan para formar una figura cerrada. Los puntos donde los lados se encuentran se denominan vértices. Los polígonos pueden ser convexos o cóncavos, dependiendo de sus ángulos internos.

Representación de Vértices:

Un polígono se representa mediante las coordenadas de sus vértices en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional (2D) o tridimensional (3D). Los vértices se enumeran en orden secuencial para formar los lados del polígono. Por ejemplo, un triángulo se representa mediante tres coordenadas de vértices: (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3).

 

Características de un Polígono:

·        Número de Lados y Vértices: Se debe especificar el número total de lados y vértices del polígono.

·        Longitudes de Lados: Se pueden calcular las longitudes de los lados utilizando la distancia euclidiana entre los vértices consecutivos.

·        Ángulos Internos: Se pueden calcular los ángulos internos del polígono utilizando la geometría trigonométrica o fórmulas específicas según la forma del polígono.

·        Área: El área del polígono se puede calcular utilizando diversas fórmulas, como la fórmula de Herón para triángulos o métodos más generales como la descomposición en triángulos y sumas de áreas parciales.

·        Perímetro: El perímetro del polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

 

Polígonos Convexos y Cóncavos:

Un polígono convexo es aquel en el que cualquier línea que conecta dos puntos dentro del polígono permanece completamente dentro del polígono. En otras palabras, todos los ángulos internos son menores de 180 grados. Un polígono cóncavo tiene al menos un ángulo interno mayor de 180 grados.

 

Representación en Gráficos 3D:

En gráficos 3D, los polígonos se representan mediante vértices tridimensionales (x, y, z). Además de las coordenadas de vértices, se pueden definir propiedades como las normales a la superficie para facilitar el cálculo de iluminación y sombras.

Triangulación:

En muchos casos, los polígonos se dividen en triángulos para facilitar su representación y cálculos subsiguientes. Este proceso se llama triangulación y se utiliza ampliamente en gráficos 3D y geometría computacional.

 

Trazado

El trazado de polígonos en un sistema de coordenadas bidimensional (2D) implica conectar los vértices del polígono con líneas rectas para formar sus lados.

1.      Coordenadas de los Vértices:

·        Un polígono se representa mediante un conjunto de coordenadas de vértices en un sistema de coordenadas 2D o 3D. Cada vértice se identifica mediante un par de coordenadas (x, y) en 2D o (x, y, z) en 3D.

 

2.      Definición de Lados:

·        Para trazar un polígono, se deben definir los lados del polígono mediante la conexión secuencial de los vértices. Esto significa que el primer vértice se conecta al segundo, el segundo al tercero y así sucesivamente.

 

3.      Representación de Lados:

·        Cada lado se representa como una línea recta que conecta dos vértices consecutivos. La ecuación de la línea entre dos vértices (x1, y1) y (x2, y2) en 2D se calcula utilizando la fórmula:

y = mx + b

Donde:

·        “m” es la pendiente de la línea y se calcula como (y2 - y1) / (x2 - x1).

·        “B” es el término de ordenada que se calcula utilizando uno de los vértices, por ejemplo, (x1, y1).

 

4.      Trazado de los Lados:

• ·        Comienza en el primer vértice y mueve tu posición al punto (x1, y1). Este punto es el punto de inicio del trazado.
• ·        Para cada vértice subsiguiente (xi, yi), utiliza la ecuación de la línea para calcular los puntos intermedios en el trazado hasta llegar al nuevo vértice.
• ·        Repite este proceso para cada vértice, creando líneas que conectan los puntos secuenciales. Esto forma los lados del polígono.

 

5.     Cierre del Polígono:

   Una vez que hayas conectado todos los vértices, asegúrate de cerrar el polígono conectando el último vértice al primer vértice. Esto crea el último lado y cierra la figura.